Visual Basic, .NET, ASP, VBScript
 

   
   
     

Форум - Олимпиады

Страница: 1 | 2 | 3 |

 

  Вопрос: Так, кому делать нечего:2х2 Матрицу в 2007 степень Добавлено: 11.05.07 02:11  

Автор вопроса:  Morpheus | Web-сайт: xury.zx6.ru
Вот тут с учителем готовились к финальному экзамену, и на мою просьбу дать "задачку посложнее" выдал мне вот такую простенькую фиговинку:

матрицу



2 1
1 2



возвести в степень 2007 :) прикольно да?

Ну, мой метод даёт решение, но в виде формул для каждого конкретного элемента, которые при очень большом желании можно сосчитать.

Хотя не думаю что для математиков из российских учебных заведений это будет большой проблемой :)

Ответить

  Ответы Всего ответов: 33  

Номер ответа: 1
Автор ответа:
 Sharp


Лидер форума

ICQ: 216865379 

Вопросов: 106
Ответов: 9979
 Web-сайт: sharpc.livejournal.com
 Профиль | | #1
Добавлено: 11.05.07 07:34
Умножаем матрицу [[x,x-1],[x-1,x]] на [[2,1],[1,2]], получаем [[3x-1,3x-2],[3x-2,3x-1]], вид матрицы сохраняется, значит, имеем рекуррентное соотношение
x_{n+1} = 3x_n - 1
Решаем, приняв x_1 = 2:
x_k = (3^k+1)/2
Т.о. x_{2007} = (3^2007+1)/2, а значит, итоговая матрица имеет вид
(3^2007+1)/2 (3^2007-1)/2
(3^2007-1)/2 (3^2007+1)/2

Ответить

Номер ответа: 2
Автор ответа:
 Morpheus



Вопросов: 222
Ответов: 3767
 Web-сайт: xury.zx6.ru
 Профиль | | #2
Добавлено: 11.05.07 15:18
а x_k- это х в сетпени к?

А вообще прикольно, более элегантно чем моё разбиение на 4 элементарных матрицы а потом их возведение поотдельности и перемножение обратно :)

Ответить

Номер ответа: 3
Автор ответа:
 Morpheus



Вопросов: 222
Ответов: 3767
 Web-сайт: xury.zx6.ru
 Профиль | | #3
Добавлено: 11.05.07 15:36
Вот ещё парочка примерчиков из наших тестов:

1. Простенькая задачка, которая, однако, повергла в лёгкий шок всех на тесте (я её сделал, но этот гад снял 5 очков из 10 за то что я показал на примере 2х2; на моё возражение что моё доказательствоо по определению вообще чихает на размерность он сказал "а чё ж ты так и не написал"? Да фиг с ним). Вот она.

Доказать что любая матрица (квадратная, видимо) может быть представлена как сумма одной симметричной и одной знакопеременной (skew symmetric) матрицы (терминологию знаю плохо - skew symmetric это когда умножение на (-1) даёт тот же самый результат что отражение относительно главной диагонали).


2. Есть квадратная матрица А, такая что А^4=0, но А^3 не равно 0.

а) доказать что I-A инвертируема
б) показать что (I - A)^(-1) = A^3 + A^2 + A + I

Ответить

Номер ответа: 4
Автор ответа:
 Sharp


Лидер форума

ICQ: 216865379 

Вопросов: 106
Ответов: 9979
 Web-сайт: sharpc.livejournal.com
 Профиль | | #4
Добавлено: 11.05.07 17:14
x_k - это x с нижним индексом k
Тут предложили другой метод решения :)
Находишь жорданову форму и канонический базис, получаешь [[1,0],[0,3]] в базисе [[-1,-1],[1,-1]], возводишь жорданову форму в 2007-ю степень, получаешь [[1,0],[0,3^2007]], переходишь в прежний базис, получаешь тот же ответ.

1. кососимметрическая она называется, банальная задача
2. Матрица нильпотентна, значит, все ее собственные значения нулевые.
а) равносильно утверждению, что среди собственных значений нет 1, это так.
б) (A^3+A^2+A+I)(I-A) = A^3+A^2+A+I - (A^4+A^3+A^2+A) = I

Ответить

Номер ответа: 5
Автор ответа:
 Sharp


Лидер форума

ICQ: 216865379 

Вопросов: 106
Ответов: 9979
 Web-сайт: sharpc.livejournal.com
 Профиль | | #5
Добавлено: 11.05.07 17:17
Давай еще :)

Ответить

Номер ответа: 6
Автор ответа:
 Morpheus



Вопросов: 222
Ответов: 3767
 Web-сайт: xury.zx6.ru
 Профиль | | #6
Добавлено: 11.05.07 19:44
Чё то я непонял про "все ее собственные значения нулевые"... это как? она же не нулевая. и про (а) тоже не ясно, хотя решение из (б) явно подразумевает и а.

ну, вот ещё парочка:

3. Показать что u.v=(1/4)|u+v|^2-(1/4)|u-v|^2
где u,v - векторы в R3 и u.v - их скалярное произведение. Если есть короткое решение - будет интереснее; иначе достаточно указать: доказывается брутфорсом :)

4. Правда ли что если элементы каждого ряда квадратной матрицы А при сложении дают 0, то определитель = 0 ? Ну, ответ по традиции обоснуйте.

5. Правда ли то что если любая квадратная матрица А^4=A, то А - инвертируема? Обосновать ответ.

Ответить

Номер ответа: 7
Автор ответа:
 Morpheus



Вопросов: 222
Ответов: 3767
 Web-сайт: xury.zx6.ru
 Профиль | | #7
Добавлено: 11.05.07 19:55
6. Бонусная проблема с Calculus II, не помню как решать но впринципе на басике можно посчитать. Интегралы тут писать не буду, вот ссылка на GIF:
http://privmail.nm.ru/integral.GIF

Ответить

Номер ответа: 8
Автор ответа:
 D o c a l



ICQ: 408802757 

Вопросов: 76
Ответов: 985
 Web-сайт: www.doc-source.pp.net.ua/
 Профиль | | #8
Добавлено: 11.05.07 23:32
Шарп гений:)

Ответить

Номер ответа: 9
Автор ответа:
 Morpheus



Вопросов: 222
Ответов: 3767
 Web-сайт: xury.zx6.ru
 Профиль | | #9
Добавлено: 12.05.07 01:26
ага, это точно

Ответить

Номер ответа: 10
Автор ответа:
 Sharp


Лидер форума

ICQ: 216865379 

Вопросов: 106
Ответов: 9979
 Web-сайт: sharpc.livejournal.com
 Профиль | | #10
Добавлено: 12.05.07 12:22
Уточни на всякий случай, A^4=0, это значит, что четвертая степень матрицы равна нулевой матрице или что определитель A^4 равен нулю?

3. Очевидно для евклидова пространства любой размерности:
(|u+v|^2-|u-v|^2)/4 = (sum((u_i+v_i)^2) - sum((u_i-v_i)^2))/4 = sum(4*u_i*v_i)/4 = sum(u_i*v_i), т.е. выражение для скалярного произведения в евклидовом пространстве.

4. Это значит (если считать рядом строку, например), что последний столбец является линейной комбинацией предыдущих, т.к. однозначно вычисляется из них. Значит, ранг матрицы меньше ее порядка, т.е. определитель равен 0.

5. Нет, неправда, достаточно рассмотреть жорданову форму, наложив на нее несколько ограничений - все ее клетки должны иметь размер 1, чтобы не возникало изменений при возведении в степень из-за недиагональных элементов, все собственные значения, кроме одного, должны быть равны 1, т.к. 1^n = 1, одно должно быть равно 0, чтобы матрица была вырожденной. Вот минимальная матрица, удовлетворяющая этому условию:
0 0
0 1

Ответить

Номер ответа: 11
Автор ответа:
 Sharp


Лидер форума

ICQ: 216865379 

Вопросов: 106
Ответов: 9979
 Web-сайт: sharpc.livejournal.com
 Профиль | | #11
Добавлено: 12.05.07 12:41
Интеграл считается элементарно, делаешь подстановку, получаешь int((Pi-u)*sin(u)/(1+cos(u)^2), x) = int(x*sin(x)/(1+cos(x)^2), x), выносишь Pi в другой интеграл и получаешь Pi*int(sin(u)/(1+cos(u)^2), u) = 2 * int(u*sin(u)/(1+cos(u)^2), u) = Pi * Pi/2. Т.о. искомый интеграл равен Pi^2/4

Ответить

Номер ответа: 12
Автор ответа:
 Sharp


Лидер форума

ICQ: 216865379 

Вопросов: 106
Ответов: 9979
 Web-сайт: sharpc.livejournal.com
 Профиль | | #12
Добавлено: 12.05.07 12:59
Кстати, а что это за учебное учреждение и как оно соотносится с нашими и другими?

Ответить

Номер ответа: 13
Автор ответа:
 Morpheus



Вопросов: 222
Ответов: 3767
 Web-сайт: xury.zx6.ru
 Профиль | | #13
Добавлено: 12.05.07 14:59
Уточни на всякий случай, A^4=0, это значит, что четвертая степень матрицы равна нулевой матрице или что определитель A^4 равен нулю?
Боюсь, и то и другое.(если конечно ты имел ввиду задание про (I - A)^(-1) ) Матрица нилпотентна 4го порядка, я просто не юзал термин так как думал он английский.

Для номер 5: Можно было взять контрпример - нулевую матрицу :)


Кстати, а что это за учебное учреждение и как оно соотносится с нашими и другими?


Dawson College - 2 или 3 - годовые программы, обязательная ступень между школой и универом. Я на Pure & Applied Science, так что у меня кроме английского, французского и др фигни основными идут математика, физика, химия и биология.
Web : http://dawsoncollege.qc.ca/

Из математики - Calculus I(Производне и их применение),II( техники интегрирования, нахождение объёма тел итд) ,III (хз) , Linear Algebra (матрицы и ... бррр! векторные пространства), Probability & Statistics,
Химия: General Chemistry (типа нашей школы чё то), Chemistry of Solutions (хим. равновесие, скорость реакции, паровое давление, растворимости, куча вычеслений), Organic Chemistry (не брал ещё, грят много запоминать надо :),

Физика: Mechanics (типа нашей школьной, но есть натяжение нитей), Waves & Optics (ядерная физика тут же, всё в математическом представлении, то есть, не фокусные раастояния итп, мой Texas Instruments уже дымится:)), Electricity & Magnetism (тут одна математика - электричество в мат. виде - интегралы итп.)

Ответить

Номер ответа: 14
Автор ответа:
 Sharp


Лидер форума

ICQ: 216865379 

Вопросов: 106
Ответов: 9979
 Web-сайт: sharpc.livejournal.com
 Профиль | | #14
Добавлено: 12.05.07 19:57
Боюсь, и то и другое

Из второго первое, вообще говоря, не следует.

Можно было взять контрпример - нулевую матрицу :)

Ну тривиальный пример я подсознательно отбросил, правильнее, конечно, задача звучала бы "любая ненулевая квадратная матрица".

Любопытно. А по каким книжкам учитесь? Это рядовой канадский колледж или выдающийся? Есть ли какие-нибудь специальные мазы для выпускников этого колледжа от каких-нибудь университетов?

Давай еще задачки :)

Ответить

Номер ответа: 15
Автор ответа:
 Morpheus



Вопросов: 222
Ответов: 3767
 Web-сайт: xury.zx6.ru
 Профиль | | #15
Добавлено: 12.05.07 21:27
Щас поищу там, я как раз к финальному экзамену готовлюсь :)

Про Даусон:

Нормальный колледж, здоровый правда, этажей 11, около 10 000 студентов. Серьёзная вещь, но грят есть какой то Маринополис, он ещё лучше , но я манал туда тащиться :)

вот тут даже фотка есть: http://en.wikipedia.org/wiki/Dawson_College

Я от здания балдею - выход на улицу есть со второго, третьего и пятого этажей - вот в холм врезали :))

Вообще вероятность поступления в универ после любого коледжа зависит от программы В которую поступаешь и от CRC - это такое число,( теоретически от 0 до 50, но в основном все находятся в районе от 20 до 30) которе расчитывается от твоего среднего и среднего остальных. Это только в Квебеке так по моему.
По программам - всё просто - на инженера над меньше 30 (что, кстати, всё равно для многих просто предел мечтаний :)), медецина 34 , дантист - самая сложная - 35.
Про книги лучше не вспоминать - сделаны очень качественно - по 1000+ страниц обычно, из глянцевой бумаги и с огроооомнейшим количеством картинок (интерсно особенно по химии и физике). Всё бы хорошо.... кроме веса и цены. Физику тяжело держать в руке, даже разбитую на 3 тома, химия не разбита вообще, но она полегче. Цена книги - физика 140 канадских долларов (!!!) на 3 семестра правда, химия такого же порядка, на 2 семестра. Ну, есть рынок использованных книг где мы их берём подешевле , ну так процентов за 60 :)


Вот пара линков на из описание:
http://wps.prenhall.com/esm_mcmurry_chemistry_4/1,7623,616516,.html
http://www.amazon.com/Chemistry-Fourth-John-McMurry/dp/0131402080
http://www.amazon.com/University-Physics-Modern-11th/dp/080538684X
http://product.ebay.com/Calculus_ISBN-10_0534393217_ISBN-13_9780534393212_W0QQfvcsZ1388QQsoprZ2408624

Ответить

Страница: 1 | 2 | 3 |

Поиск по форуму





© Copyright 2002-2011 VBNet.RU | Пишите нам